Négyzet darabolás
Téglalapokkal 4 a megoldás. (3 négyzetre nyilván(?) nem lehet egy négyzetet feldarabolni, 4-re meg van egy egyszerű konstrukció: 1 db 7/3x7/3 négyzet, 1 db 14/3x14/3 négyzet, 2 db 7/3x14!3 téglalap)
Ha a nem-téglalapokra vágás szigorú megkötés, akkor minimum 6 részre kell vágni a négyzetet, hogy abból 3 másikat lehessen összerakni, hiszen mindegyik kis négyzetnek legalább két darabból kell állnia. 6 darabos megoldás pl.: vágjuk le a négyzet 4 sarkát úgy, hogy a levágott darabok 7/2 befogójú egyenlő szárú derékszügű háromszögek legyenek. Ezekből összeállítható 2 db 7/2 oldalú négyzet. A maradék 5. darab egy 7xgyök(2)/2 oldalú négyzet: ezt vágjuk 2 nem téglalap alakú darabra.
Többféle szigorítás lehetne: pl. minden darab legyen legalább négyszögű, de nem téglalap. Vagy: a kisebb négyzetek mindegyikének oldalhossza legyen egész (lehet, hogy GPF is így gondolta feladni?). Fel lehet-e vágni egy négyzet alakú süteményt 3 egyenes vágással 7 egyforma nagyságú darabra?
Ha a kis négyzetek egész oldalúak, akkor minimum 6 db téglalapra kell darabolni
a négyzetet. A bizonyítás nem túl rövid:
a2+b2+c2=49 egyenletnek csak az {a,b,c}={2,3,6} pozitív egész megoldása van.
Tehát a három kis négyzet oldala 2, 3 és 6 hosszú. 6 darabból több féle képpen
is össze lehet rakni a három kis négyzetet. Pl. vágjuk ki egybe a 6x6-ost,
a maradék "L betűt" pedig vágjuk 2 db 2x1es és 3 db 3x1-es darabra (ez nyilván
megy).
5 darabbal nem megy a dolog, mert: Ha a 3 kis négyzetet 5 darabból kell összerakni,
akkor a 6x6-os 1, 2 vagy 3 darabból áll.
- Ha a 6x6-os négyzet 1 darabból áll, akkor a maradék a már említett vékony
"L" alak. Ezt csak 1xn alakú téglalapokra lehet darabolni, ezért a 2x2 és
3x3 négyzethez legalább 5 darabra kell szétvágni. - Ha a 6x6-os négyzet 2
darabból áll, akkor vagy ugyanaz a helyzet mint az előbb, vagy az egyik darab
egy 6x1-es, a másik darab egy 6x5-ös és a maradék terület egy 6x2-es téglalap
megtoldva az egyik 2 hosszú oldalán egy 1x1-es darabbal. Ezt a darabot kell
úgy 3 részre vágni, hogy a 2x2-es és a 3x3-as kijöjjön belőle. Nyilván a 2x2-es
egy darabban lesz, a 3x3-as lenne 2 darabban, de könnyen ellenőrizhető, hogy
ez nem megy. - Ha a 6x6-os négyzet 3 db-ból áll, akkor a 2x2-es és 3x3-as
1 darabból van. A 3 darabból álló 6x6-os egyik darabja nyilván 6xn méretű
kell legyen. Mivel ezt a 7x7-es négyzetből kivágva marad egy 1xn-es darab,
ezért a 6x6-os második darabja ez kell legyen. Így azt kapjuk, hogy n=3 és
a 6x6-os négyzet mindhárom darabjának egyik oldala 3. Ha a 7x7-es négyzetből
a 7x3-as darabot levágjuk (ez a 6x3 és 1x3 darab együtt), a maradék 7x4-es
darabból 2x2-es darabot kivágva könnyen látható, hogy a maradékot nem lehet
3 olyan darabra vágni, amelyek mindegyikánek egyik oldala 3 hosszú.
Tehát az 5 darabos darabolás nem lehetséges.