Edények
1 l-t lehet mérni 2 páratlan literessel (bármelyik kettövel) vagy 1 páros
és 1 páratlan literessel. 2 párossal nem lehet.
13 páratlan és 1 páros literes van egy csoportban, akkor bármelyik 10-et választom
ki a 14-ből, abból bármelyik kettővel tudok mérni 1 l-t. Megnézem, hogy hány
esetben szerepel a páros literes a kiválasztott 10-ben. Ezt még 11-szer hozzáadom
az összes kombinációjához, mert 12 páros literes edény van.
3-21 3-15 7-21 meg az ilyesmik nem jók.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 l-es
és ki lehet cserélni a 2l-est 4,8,16 l-esre
3 l-est 9 l-esre
5 l-est 25 l-esre
Ez tényleg 16 .
1. Ha két edény térfogatának a legnagyobb közös osztója p > 1, akkor akárhogy
méregetünk, a kimért víz térfogata osztható p-vel.
2. Ha két edény térfogatának mértéke relatív prím egymáshoz, akkor velük ki
lehet mérni 1 l vizet. Ez nem annyira trivi, de nem is túl bonyolult pl. ha
p < q <2p a két edény térfogata, akkor ki lehet mérni egymás után a 2p-q,
3p-2q, 4p-3q stb. értékeket a következő algoritmussal:
p térf. edény---q térf. edény
kp-(k-1)q------------0
0-----------------------kp-(k-1)q
p-----------------------kp-(k-1)q
p-(q-(kp-(k-1)q))--q
. |
. |
. v
(k+1)p-kq
nyilván 2p-q > 3p-2q > 4p-3q stb. tehát a p térfogatú edényben egyre kevesebb
mennyiség van és a p és q relatív prím viszonyából következik, hogy a végén
1 l víz lesz az edényben.
Ha q és p térfogata közt az arány nagyobb, mint 2, akkor is hasonlóan megy
csak bonyolultabb leírni.
Köv.: Tehát a 10 edény közül bármelyik 2-nek relaytív prímnek kell lennie.
3. ha mn térfogatú edény van a kiválasztottak között,(m, n nagyobbak 1-nél és különbözőek) akkor sem m sem n térfogatú nem lehet a kiválasztottak között, mert a fenti következménnyel ellentétes lenne a helyzet. Akkor viszont mn helyett m-et és n-et betéve az edények számát 1-el növeltük, miközben a relatív prím viszonyokat nem változtattuk meg. Tehát a maximális számú kiválasztott edények között nem lehet olyan térfogatú, mely különböző egészek szorzatára bontható. Innen már a Híd féle "kivonat" elegendő...
A 100 egymás utáni összetett számra valóban nem adtuk még meg a lehetséges alsó korlátot. (Nem is látok rá esélyt, hogy matematikailag bizonyítva tudnánk azt megadni. Legfeljebb egy jól megírt programocska segíthet.) Viszont számomra érdekes feladat pusztán logikai, matematikai eszközökkel lejjebb csökkentetni a becslés értékét.
Pl. nézzük a következőket: legyen
A=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*47 ami kb. 6,1*1018 és nézzük az A-52-
A-51, A-50, ... A-1, A, A+1, A+2, ... A+47 számsorozatot! A-1 és A+1 kivételével
mindegyik számról yilvánvaló, hogy összetett. A-1 és A+1 pedig pl. Excellel
ellenőrizhetően összetett, pl. A-1 osztható 191-el. O.K. itt a végén van egy
kis csalás, az Excel nem tisztán logikai út... Excellel egyébként kisebb számok
körül is lehet összetett-szám sorozatot keresni, pl. 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29
körül nem találtam.
A 3. pont nem pontos, mivel pl. 8 literes lehet az edények közt, és az 2*4.
Az a lényeg, hogy különöző prím osztói ne legyenek.