Make your own free website on Tripod.com

Szakasz harmadolás

1. valahonnan a szakszon túlról (Q) leképezem az a szakaszt (végpontjai A1, A2) az egyenesre, kapok egy b szakaszt (végpontjai - A1 és A2-nek megfelelően B1 és B2), ami hosszabb az a szakasznál.
2. a végpontokat páronként összekötöm. Kapok két metszéspontot, egyet - összekötve: A1,B2, ill. A2,B1 - a szakasz és az egyenes között (P), a másik pedig a kiinduló pontunk lesz (A1,B1, A2,B2 összekötése után).
3. a szakasz és az egyenes távolsága mondjuk m volt.
4. a P metszéspont az m magasságot a/(a+b), ill. b/(a+b) arányban oszja, ha az a szakasz irányából indulunk ki (ti. két hasonló háromszöget ad ki A1,A2,P és B1,B2,P)
5. ha a P-n keresztül párhuzamos vonalat húznánk (ezt persze nem tudunk egy db vonalzóval...), akkor az látszana, hogy van egy harmadik szakaszunk, amelynek egyik végpontja az elképzelt új egyenes és a B1Q szakasz metszépontja (C1), másik pedig B2Q szakasszal vett metszépont (C2).
6. Azt is látnánk, hogy P ezt a szakaszt felezi, hiszen az A2PC2 és az A2B1B2 háromszögek hasonlóak, azaz a PC2 szakasz hossza úgy aránylik a b szakasz hosszához, mint az m*a/(a+b) az m-hez, tehát a PC2 szakasz hossza: ab/(a+b). Pontosan ugyanígy látható, hogy a C1P szakasz hossza is ab/(a+b), tehát P valóban szakaszfelező.
7. Akkor viszont a P-n és Q-n áthúzott egyenes felezi b-t is. Kaptunk tehát az eredeti egyenesünkön két egyenlő hosszúságú szakaszt.
8. Akkor viszont már helyben vagyunk. Az a szakaszt kiegészítjük egyenessé, és egyszerű leképezéssel az egyik, és másik oldalára is rámérhetünk egy vele megegyező hosszúságú szakaszt (ezt hadd ne írjam le bővebben)
9. Megkaptuk az a szakasz háromszorosát, gondosan harmadokra tagolva. Ezt egyszer visszaképezzük a b egyenesre, majd a harmadolópontok segítségével harmadoljuk az eredeti a szakaszt.

Ha van két egyenlő szakasz az egyenesen, akkor utána hasonlóan továbbfelezzuk őket. Lesz négy egyenlő szakasz. Veszünk belőle hármat összekötjük a balszélsõt A1-gyel, jobb szélsőt A2-vel, eme két egyenes metszi egymást mondjuk X pontban. X és a kicsi, egyforma szakaszok közti egyenes pedig harmadolja a1.a2.

vissza