Széf
A bank igazgatója kétségbeesetten hivatja Maximusz professzort. Elmondása
szerint a legmodernebb páncélszekrényt tartják a bankban. Három forgótárcsán
kell a 0,1,...,9 számjegyek közül a megfelelőt beállitani, majd egy gombnyomásra
kinyílik az ajtó. (Tehát a legkisebb beállítható szám 000, a legnagyobb 999.)
Biztonságtechnikai okokból gyakran változtatják a kódot; ezt bárki megteheti,
ha az ajtó nyitva van. Az igazgató unokája a tavaszi szünetben a páncélszekrény
kombinéciós zárjával játszogatott, s ekkor történt a tragédia: az ajtó becsukása
és a tárcsák eltekergetése után az unoka rádöbbent, hogy fogalma sincs, milyen
kódot állított be. A zár a legújabb divatnak megfelelően úgy működik, hogy
ha valaki egy hamis számmal próbálkozik, akkor a nyitó kód értékét automatikusan
megnöveli eggyel. Pl. ha a beállitott kombináció 123 volt, akkor a helytelen
próbálkozás után a kombináció 124-re változik; vagy ha 999 volt, akkor 000
lesz stb.
- Ez nekem nem probléma - mondja a professzor, - történetesen ez a zár az
én találmányom. Némi próbálkozás után ki tudom nyitni a zárat.
a) Hogyan lehet legegyszerűbben kinyitni a páncélszekrényt?
- Sajnos ez nem minden - mondja az igazgató, homlokát törölgetve. - Az én
unokám is feltaláló (egyébként matematikus lesz). A zárszerkezetet úgy állította
át, hogy ha valaki egy hamis számmal kétszer próbálkozik, akkor az ajtó véglegesen
beragad, soha többé nem nyitható ki.
- Nem teljesen világos - mondja némi tűnődés után Maximusz. - Ez azt jelenti,
hogy ha pl. az 123 számmal próbálkozunk, és a szám hamisnak bizonyul, akkor
a legközelebbi 123 próbálkozásnál - ha épp ez az aktuális kód - az ajtó kinyilik,
de ha nem ez a kód, vagyis másodszor is rossz számmal próbálkozunk, akkor
végérvényesen tönkremegy? Vagy azt jelenti, hogy minden számmal csak egyszer
kisérletezhetünk, tehát az 123 eredménytelen kisérlet után az 123-t többé
nem szabad kipróbálni?
- Ezt nem is tudom - válaszolja a rémült igazgató. - Számit valamit?
- De mennyire! Az első esetben az ajtó nyitható, mondom a megoldást.
b) Hogyan okoskodhatott Maximusz professzor?
- A második esetben - amikor minden számot csak egyszer szabad kipróbálni
- nem biztos, hogy ki lehet nyitni az ajtót. Megmutatom, hogy miért.
c) Bizonyitsd be te is a professzor állitását!