Korty
A feladat tk. az, hányféleképpen lehet n-et 1-esek és 2-esek összegeként felírni. Két ilyen összegfelírás akkor is kül.-nek számít, ha csak a sorrendjük az. Jelöljük S(n)-nel e számot. Az összegfelírások két diszjunkt halmazra bonthatók: az egyiknek 1, a másiknak 2 a kezdôtagja. Az elsô halmazba esôk száma S(n-1), mivel az összegben a további elemek n-1 felírásait adják ki. Uígy a 2. halmaz számossága S(n-2). Ezért S(n)=S(n-1)+S(n-2). Mivel még nyilván S(1)=1 és S(2)=2, ezért S a Fibonacci-számokkal azonos. (S(n)-nek van vmi gyök 5-ös zárt alakja is, fejbôl nem tudom.)
Legyen a pohár tartalma "N" kiskorty. Ha a nagykortyok száma "i", akkor a kiskortyok száma: N-2i. Az összes kortyok száma: i+(N-2i). A kortykombinációk száma legyen "M" (ez gyakorlatilag [(N/2)+1] egészrésze). A kortyvariációk száma: szumma i megy 1 -től m -ig : i+N-2i alatt az i Aúú, most látom, hogy lehetne egyszerűsíteni is, mind1.
Mellesleg arra az érdekes összefüggésre is bizonyíték a példa, hogy
(n 0) + (n-1 1) + (n-2 2) + ... (f[n/2] a[n/2]) = F(n),
ahol jel: (n k) = n alatt a k, továbbá f[x] és a[x] a felső és alsó egészrész
x
hiszen a feladat másik megoldásánál azt lehet összegezni, hogy ha i db.
nagy korty van, hány variáció van. Másképp a Pascal háromszög megfelelő átlójának
összegei a Fibonacci számokat adják.
A Fibonaccinak gyönyörű explicit képlete van, az aranymetszés-számokkal:
F(n) = ( ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n ) / sqrt(5)
(pl be lehet látni, hogy F(1)=1 és F(2)=2, és F(i)=F(i-1)+F(i-2)).
Kitalálni meg úgy lehet, hogy sejtsük meg, hogy a Fibonacci sorozat két mértani
sorozat összegeként felírható, és próbáljuk meg megoldani az a1,a2,q1,q2-t
)